Partie B : les réponses à une candidature

Hugo cherche du travail et, après avoir mis son CV à jour, il l'a envoyé à de nombreuses entreprises. Il a lu sur plusieurs sites internet dédiés à la recherche d'emploi que seules \(20~\%\) des entreprises prenaient la peine de répondre aux candidatures spontanées, que la réponse soit positive ou non.
Il décide de sélectionner \(4\) d'entre elles au hasard, et d'étudier le nombre de réponses qu'il peut espérer recevoir, que la réponse soit positive ou non. L'arbre de probabilités donné ci-après illustre la situation. On note \(\text{R}\) l'événement « avoir reçu une réponse » et \(\overline{\text{R}}\) l’événement contraire.

1. a. Déterminer le nombre de chemins menant à \(0\) succès, autrement dit à aucune réponse.
    b. Déterminer le nombre de chemins menant à \(1\) unique succès, autrement dit à une unique réponse.
    c. Déterminer le nombre de chemins menant à \(2\) succès, autrement dit à deux réponses.
    d. Déterminer le nombre de chemins menant à \(3\) succès, autrement dit à trois réponses.
    e. Déterminer le nombre de chemins menant à \(4\) succès, autrement dit à quatre réponses.
2. Identifier la ligne du triangle de Pascal qui présente ces mêmes valeurs numériques.
3. Sans dresser d'arbre de probabilités, déterminer le nombre de chemins menant à \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) succès dans le cas où Hugo aurait étudié cinq entreprises au lieu de quatre.